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Rues de Pondichéry (pages en construction)
1ère partie : KOLAM (3)
Texte de présentation
pour un panneau d'exposition de photographies
"Rues de Pondichéry"
Un langage de programmation Ce principe de construction peut être formalisé dans un langage de programmation.
C'est, par exemple, le logo, enseigné dans les écoles, dont le slogan, inspiré par le “constructivisme” du psychologue Jean Piaget était : “Apprendre à programmer, programmer pour apprendre”.
La programmation logo La programmation en logo peut être illustrée par la marche d'une “tortue” dont les déplacements révèlent qu'on peut dessiner des figures complexes avec des instructions simples notifiées par des chaînes de symboles.
En logo, les instructions “Texte” sont ainsi traduites dans une fenêtre graphique. Le langage est composé d'instructions de direction et de distance (les mots du vocabulaire). L'instruction “avance 50” déplace ainsi la tortue en avant de 50 pixels ; “droite 90” fait tourner la tortue de 90° vers la droite, etc. La tortue (parfois physiquement représentée) est définie par 3 symboles sur un système cartésien de coordonnées x et y indiquant sa position, A (en Avant, la tête de la tortue - le cap) marquant la direction de la tortue.
Ainsi selon les coordonnées ci-dessus et en vertu des instructions suivantes :
AAA-AA-A-A+A+AA-A-AAA, (angle = 90°) la tortue aura effectué le périple ici représenté :
Une instruction simple est ainsi en mesure de réaliser une figure complexe.
Pour dessiner un cercle de carrés, il suffit de taper l'instruction :
répète 12 [carré droite 30]
La tortue parcourt 12 carrés décalés chacun de 30 degrés. En fin de programme, elle aura tourné de 360 degrés – un cercle complet – et occupera de nouveau la même position et le même cap qu'au début du dessin.
Le logo est en mesure de traiter des applications numériques quelconques.
Fractales…
Ce processus de complexification par le simple est au principe des courbes fractales. Au début du XX° siècle, le mathématicien von Koch proposait une courbe composée de deux éléments : une forme initiale et un principe de transformation, tels que : chaque étape de la construction réalise une insertion de la transformation dans la forme initiale. Pour obtenir une véritable fractale, il faudrait pouvoir poursuivre indéfiniment le dessin, ce qui n'est évidemment pas possible. On peut se représenter, toutefois, la poursuite infinie de la courbe. (Considérant la longueur du segment, on constate qu'il est multiplié par 4/3 à chaque étape.)
Ce principe de génération fractale, sur la base d'un triangle équilatéral, est celui du flocon de neige.
La construction d'ensembles fractals s'effectue par itérations qu'il est possible de complexifier selon le type d'espace (et de dimensions) dans lequel on opère. A l'inverse, Mandelbrot donne l'exemple de l'analyse cartographique : si on regarde à des niveaux d'échelle différents, on y trouvera des spécificités diverses mais les mêmes traits génériques. A l'échelle près, c'est le même mécanisme, un même rythme de répartition des forces, qui engendre les détails et la structure d'ensemble.
K. Falconer (1990) donne cette définition d'un ensemble fractal :
"Mon sentiment personnel est que la définition du concept de fractale pourrait être envisagée de la même façon qu'un biologiste pense à la définition du concept de"vie". Il n'y a pas de définition forte et simple, mais plutôt une liste de propriétés caractéristiques d'un objet vivant [...]".
Ainsi l'ensemble F a les propriétés suivantes :
- Une structure fine, telle que des détails perceptibles à tout changement d'échelle ;
- Une forme d'homothétie interne ;
- L'ensemble F est défini par une règle d'engendrement simple, le plus souvent récursive.
Ce principe d'engendrement (système de fonction itérative, IFS), dans la simplicité de sa règle et dans la complexité de son résultat fait sens ici. Dans cet esprit, l’art fractal consiste à engendrer une image par ordinateur en mettant en œuvre un calcul fractal. Il existe un concours de fractales (soutenu par le mathématicien B. Mandelbrot), dont voici une œuvre primée en 2007 :
Spiral Fantasy, d’Alfred Laing
Dans les figures de kolam type Serpent, on voit immédiatement :
que le principe de croissance repose sur la transformation d'un bras de la croix en croix. Chaque réécriture remplace chaque bras de la croix en une nouvelle croix, ce qui entraîne une croissance exponentielle du nombre de bras (4, 16, puis 64, etc.).
Règle de construction :
figure obtenue :
Pour dessiner un bracelet de Krishna :
trois commandes sont nécessaires (cf. le déplacement de la "tortue" supra) :
A (= en Avant - avancer) ;
D1 (avancer en effectuant un demi-tour vers la droite) ;
D2 (avancer en effectuant un tour complet vers la droite) ;
Chaîne : D1 AD2 AD2 AD2 AD1
Réécriture : A ==> A ; D1 ==> D1 AD2 AD1;
D2 ==> D1 AD2 AD2 AD2 AD1
Chaque réécriture transforme la boucle en un ensemble de quatre boucles.
Symétries et recherches graphiques...
Boîte à friandises
[ajouter illustration...]
Une simulation informatique (T. Asano pour ISKFA 2006) :
Courbe de Sierpinski
etc...
Les kolam et les parcours eulériens…
Autre caractéristique de cette économie de moyens propre au kolam : l'utilisation, dans un certain nombre de kolam, d'une seule ligne continue pour obtenir la composition finale. Quand la course de la main s'arrête, l'œuvre est achevée. Cette performance peut s'exprimer dans la “théorie des graphes”.
Un graphe eulérien est un graphe admettant un parcours fermé. C'est le cas si le départ et l'arrivée du parcours sont identiques (même sommet). Autrement dit, on fait le tour du graphe en revenant au point de départ. Un parcours non fermé est dit (comme il se doit) ouvert.
Le « Jeu de l'enveloppe » Comment tracer toutes les lignes de l'enveloppe sans lever le crayon ? Pour réussir un tel tracé, il faut commencer et finir avec un sommet possédant un nombre impair d'arêtes (lignes), soit 3 arêtes.
Le “Problème des sept ponts” Ce problème est connu comme celui des ponts de Königsberg, ou “problème des sept ponts” :
La ville de Königsberg est construite sur deux îles reliées au continent par six ponts, et entre elles par un pont.
Trouver un chemin permettant, à partir d'un point de départ quelconque, de passer une fois et une seule par chacun des ponts et de revenir au point de départ.
“Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis”
Le mathématicien Euler a publié en 1759, dans les Mémoires de l'Académie des sciences de Berlin un article dans lequel il démontrait qu'il était impossible de trouver un chemin qui traverserait chaque pont une seule fois sans en oublier un seul.
Sa démonstration est à l'origine de la théorie des graphes.
(Voir Edouard Lucas, qui donne dans ses Récréations mathématiques (1882) cet énoncé du problème et en propose un solution à l'aide d'un graphe :
« A Koenigsberg, en Poméranie, il y a une île appelée Kneiphof ; le fleuve qui l’entoure se divise en deux bras, sur lesquels sont jetés les sept ponts a, b, c, d, e, f, g. Cela posé, peut-on arranger son parcours de telle sorte que l’on passe sur chaque pont, et que l’on ne puisse y passer qu’un seule fois ? »)
Chaque rive peut être représentée par une lettre capitale (c'est un sommet) et chaque pont par une lettre minuscule (c'est une arête, ou un arc).
Le nombre d'arêtes qui se rejoignent à un sommet définit le degré de ce sommet. Le degré du sommet central A est ainsi 5. Chacun des trois autres sommets est de degré 3.
Un graphe peut être dessiné sans lever le crayon si et seulement s'il possède zéro ou deux sommets d'ordre impair.
(Un graphe ne peut être parcouru d'un seul trait s'il a plus de deux sommets de degré impair.)
Règles
La contrainte de la ligne continue étant « un seul passage », les sommets considérés doivent avoir un nombre pair d'arêtes = arrivée + départ. Le nombre de tels sommets est nécessairement pair (pour répondre à la contrainte).
• Si tous les sommets sont pairs :
parcours possible :
départ = arrivée ;
• S'il existe seulement deux sommets impairs :
parcours possible :
départ = l'un des sommets impairs,
arrivée = l'autre sommet impair ;
• Dans tous les autres cas :
parcours impossible.
Graphe orienté :
Système à 4 éléments (X, U, o, e) où « X » désigne l'ensemble constitué par les sommets du graphe, « U » l'ensemble des arcs, « o » une application de U dans X appelée origine et « e » une application de U dans X appelée extrémité.
Graphe planaire :
Graphe dont il existe une représentation géométrique dans le plan.
(Le graphe du jeu dit des « Trois maisons » n'est pas planaire.) Pour qu'il existe dans un graphe G un cycle eulérien, il faut et il suffit que le nombre d'arêtes qui aboutissent à un sommet soit pair.
Graphes planaires orientés de cycle eulérien
Symétries sur un graphe eulérien
Analyse d'un kolam : 1°) relevé :
2°) grille de points et parcours :
3°) visualisation des 3 cycles par gif animé :
Le kolam ci-dessouss est exécuté en un seul parcours :
La théorie des graphes reçoit diverses applications. Pour représenter les circuits des microprocesseurs ou pour déterminer un trajet optimal de messagerie. Le réseau en cause est modélisé par un graphe dont les arêtes sont les circuits ou les routes, à chaque arête sont associés des nombres (longueur du chemin correspondant, temps de parcours, etc.) et des valeurs.
L-Systèmes
Le biologiste hongrois Aristide Lindenmayer a imaginé de décrire (1968) le développement d'organismes multicellulaires simples, algues, plantes ou bactéries, qui croissent par multiplication à l'aide d'une grammaire formelle (dite aujourd'hui Lindenmayer-Système).
Des règles de transformation
Le concept central de cette grammaire formelle est la notion de réécriture, technique qui permet de construire des objets complexes en reportant de manière répétitive une forme initiale en vertu d'un protocole d'instructions déterministes.
Des algorithmes de croissance…
Les cellules sont représentées par des symboles. À chaque génération, les cellules se divisent : un symbole est alors remplacé par un ou plusieurs autres symboles. Ces chaînes de symboles sont les algorithmes de la croissance de la plante ou de l'algue. A la différence des grammaires séquentielles, un L-Système est capable de modélisation une croissance en parallèle. Un système de Lindenmayer est ainsi une grammaire qui permet de décrire les processus de multiplication élémentaires, quand ceux-ci procèdent de la recomposition ordonnée d'un matériel initial.
Exemple de L-Système :
Variables : A
Constantes : + -
Axiome de départ : A
Règles : (A -> A+A-A-A+A)
On peut assimiler A à un bourgeon et S à un segment d'entre-nœud
- Variables : A S
- Axiome : A
Règles :
A –> S[A]S[A]A
S –> SS
n=0 : A
n=1: S[A]S[A]A
n=2 : SS [S[A]S[A]A] SS [S[A]S[A]A] S[A]S[A]A
etc.
plante fractale
variables : X A
constantes : + –
départ : X
règles : (X –> A-[[X]+X]+A[+AX]-X),(A –> AA)
angle : 25°
Plante fractale : n = 6
croissance du dragonnier de Socotra (Dracaena cinnabari) [ www.socotra.tripod.com/ diksam]
Dans cette représentation, les instructions syntaxiques et les formes géométriques prennent vie...
Beaucoup de ces figures mettent en œuvre une symétrie, radiale ou bilatérale. Cela n'est pas un hasard si, dans l'histoire de l'art, la symétrie est une règle qui permet à l'homme de reproduire la nature et de créer. La beauté, l'ordre, la perfection se prévalent de la symétrie – ou d'une dissymétrie qui suppose la symétrie.
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Éléments d'Ethnographie Indienne (en cours)
Inde védique 
